6 利用热能做功

我们已经在两种情况下遇到过热能。第一次是红外辐射（式 1.8）， 第二次是千卡的定义（5.5 节）。除此之外，热通常被视为能量转换链中的一种「废物」， 如摩擦、空气阻力等。好像暗示着热量是没有价值的无用副产品。

然而，我们今天使用的能源中有 94% 是热能[32]，[32]: U.S. Energy Inform. Administration (2011), Annual Energy Review我们燃烧了大量的物质来获取能量 ^{1 1}风能、太阳能和水力发电是例外。 ！ 有时，我们确实需要热能，但我们如何利用它来驾驶飞机、推动汽车和点亮屏幕呢？ 本章旨在阐明热能的使用方式，并探讨热能做功的效率极限。

与前一章一样，这个话题与本书的整体轨迹略有偏离，本书的目的是逻辑坚实地叙述我们不能继续做什么， 我们可以用什么方法来改变方向，以及最后如何实现这种改变。然而，我们利用热能的方式是故事的关键部分， 它关系到当前和未来满足我们能源需求的途径。

6.1 产生热量

在深入探讨散热问题之前，让我们先快速了解一下各种发热方式。

示例 6.1.1: 产生热量的方法，大致按复杂程度排列：

1. 双手摩擦（或其他形式的摩擦）。

2. 收集阳光，可能的话，将其集中起来以获取热量；在室外晾晒衣服，通过窗户让阳光温暖房间，这是现实中的例子。

3. 在有条件的地方获取地热。

4. 在壁炉或火炉中燃烧木材。

5. 燃烧化石燃料直接供暖；燃气通常用于家庭取暖、烧水和烹饪。

6. 让电流通过盘着的线圈，它会变红发热；常见于烤面包机、吹风机和电热器。

7. 用电驱动热泵（第 6.5 节）。

8. 让核材料在受控的链式反应中发生裂变。

9. 制造足够热的等离子体来维持核聚变——就像太阳数十亿年来所做的那样。

6.2 热容量（比热容）

首先，我们将一个基本的热学概念与第 5.5 节中的卡路里联系起来。 将 1 千克水加热 1 摄氏度需要 1 千卡，这实际上就是定义了水的比热容（Heat Capacity）。按国际单位制， 水的比热容为 4,184 J/kg/℃ ^{2 2}在温度变化方面，摄氏度和开尔文是可以互换的，因为二者之间只有一个恒定的偏移量， 所以温度的任何变化在二者中都是相同的测量值。 。很少有物质能达到水的比热容。大多数液体，如酒精，往往在 2,000 J/kg/℃ 的范围内。 大多数非金属固体（甚至空气）的比热容约为 1,000 J/kg/℃。金属在 130-900 J/kg/℃ 之间，轻金属在最高点，重金属在最低点 ^{3 3}这里的规律是，含有氢等轻原子的水或酒精等物质的热容量，比含有较重原子的金属等物质的热容量大。 。 表 6.1 提供了一些常见物质的比热容。

知道了物质的比热容，我们就可以计算出提高其温度需要多少能量。一个有用的近似准则是将水视为 4,000 J/kg/℃， 将所有其他物质（空气、家具、墙壁）视为 1,000 J/kg/℃。混合物，如食物，由于含水量高，可能介于 2,000-3,500 J/kg/℃ 之间。 如果不太清楚，1,000 J/kg/℃ 绝对不会太离谱。用来估算的话，只有高含水量 ^{4 4}最高就是 4,000 J/kg/℃。 或金属 ^{5 5}钢等较重金属为 500 J/kg/℃；铝等轻金属接近 1,000 J/kg/℃。 才会偏离这个值。

⁶注意到加热水需要更多的能量，即使它的质量只有小卡车的一半。

示例 6.2.1: 一辆重 2000 kg 的小卡车正在运输一个一立方米的水箱。 将整个系统的温度提高 5 ℃ 需要多少能量？

一立方米水（1,000 L）的重量为 1,000 kg，热容量约为 4,000 J/kg/℃；卡车主要是钢材， 因此我们猜测为 500 J/kg/℃。分别乘以各自的质量和 5 ℃ 的温度变化，得出加热水的热量为 20 MJ， 加热卡车的热量为 5 MJ，总计 25 MJ。 ^{6 6}注意到加热水需要更多的能量，即使它的质量只有小卡车的一半。

要使用比热容进行计算，请尝试用直观的方式，而不是某种算法公式 ^{7 7}不过，这对学生来说是一个很好的机会，可以让他们自己写出一个公式，从而让他们明白这个概念， 并且能够体会到公式、方程只是捕捉一个概念。此外，符号的选择其实是任意的，这种体验会强化这一点。 。以下内容对你来说应该很有意义， 并能帮助你如何将这些碎片组合在一起：加热较大的质量或使温度升高较大的温差需要更多的能量。 它们都成正比。从单位中也可以看出，要从以 J/kg/℃ 为单位的比热容转换为以 J 为单位的能量，我们需要乘以质量和温度的变化。

⁸假设为 1,000 J/kg/℃。

示例 6.2.2: 计算将一件 30 kg 的家具 ^{8 8}假设为 1,000 J/kg/℃。 加热 8 ℃ 所需的能量，我们先用比热容乘以质量， 以体现「较大的质量」的影响，然后再乘以温度变化，以体现「较大的温差」。这个例子中，我们得到 240 kJ。

6.3 家庭供暖/制冷

我们个人对热能的体验通常是生活空间的供暖、水或食物的加热等。事实上，在住宅和商业建筑中， 大约三分之二的能源使用与热能需求有关 ^{9 9}以天然气、电力和燃油的形式 ，如加热或冷却房间温度、加热水、冰箱冷藏食物、烘干衣物和烹饪。

说到家庭供暖（或制冷），我们可能会关心两件事：

• 需要多长时间才能将温度降低一定程度；以及

• 将其保持在所需温度需要多少能量。

前者取决于房子里有多少东西 ^{10 10}包括墙壁、家具和空气。 ，要产生多少 Δ𝑇 以及产生热量 ^{11 11}如果是制冷的话就是移除热量。 的功率大小。 所需的能量是质量乘以 Δ𝑇 再乘以通用的 1,000 J/kg/℃ 比热容。所需时间就是能量除以功率。

¹²只有 300 kg 是空气，需要加热的大部分是墙壁、地板和天花板。

示例 6.3.1: 用两个 1,500 W 的加热器将可移动房屋的内部温度从 0 ℃ 加热到 20 ℃ 需要多长时间？ 我们假设必须加热大约 6,000 kg 的物质 ^{12 12}只有 300 kg 是空气，需要加热的大部分是墙壁、地板和天花板。 。

第一项工作是计算所需能量，然后除以功率得出时间。我们使用 1,000 J/kg/℃ 这个对很多东西都有效的比热容。

将比热容乘以质量和温度变化，得出 120 MJ 的能量。以 3,000 W 的功率计算，注入这么多能量需要 40,000 秒，也就是大约 11 个小时。

需要多少热量保持温度，取决于热量是如何通过窗户、墙壁、天花板、地板和透气的间隙流出（或流入）室内的。 但它也线性地受室内外温差 Δ𝑇 的影响。一座房屋的相关特性可以用热损失率来表示，单位为瓦特/摄氏度 ^{13 13}也可以用瓦特/开尔文。 。 这个单一的数字表示维持一定的室内外温差 Δ𝑇 所需的功率。Box 6.1 举例说明了如何计算房屋的热损失率， 示例 6.3.2 则将计算结果应用于实际情况。

图 6.1: Box 6.1 中房屋模型的外墙和窗户。地板和天花板未显示。以 2 W/m²/℃ 为单位的数字是 U 值， 在本例中代表了最佳工程实践。大多数房屋的 U 值会比这一数值大 2-6 倍。不要忘记真正房屋有门！

¹⁴外墙、天花板和地板。用于描述墙壁和窗户热损失特性的数字称为 U 值，单位为 W/m^{2/℃，数值越低，表示隔热性能越好。 在美国，建筑材料用一个反比指标来描述，称为 :term:`R 值<R-value>}，单位是丑陋的 ◦F ·ft² · hr/Btu。 两者在数值上的关系为 𝑅 = 5.7/𝑈，因此我们的「被动式房屋」墙体的 R 值为 𝑅 ≈ 38， 窗户的 R 值为 𝑅 ≈ 7，这两个值都相当不错，但也很难达到。

Box 6.1: 住房建筑

最好的做法是将房屋建造得非常舒适，符合「被动式房屋」的标准，与外部接触的表面 ^{14 14}外墙、天花板和地板。 能达到每平方米 0.15 W/℃，窗户能达到每平方米 0.8 W/℃。用于描述墙壁和窗户热损失特性的数字称为 U 值，单位为 W/m^{2/℃，数值越低，表示隔热性能越好。 在美国，建筑材料用一个反比指标来描述，称为 :term:`R 值<R-value>}，单位是丑陋的 ◦F ·ft² · hr/Btu。 两者在数值上的关系为 𝑅 = 5.7/𝑈，因此我们的「被动式房屋」墙体的 R 值为 𝑅 ≈ 38， 窗户的 R 值为 𝑅 ≈ 7，这两个值都相当不错，但也很难达到。

让我们假设一个房子占地面积为 12 m ✖️ 12 m 的正方形，墙高 2.5 m，四面墙上各有两扇窗户， 每扇窗户的面积为 2 m^{2`（图 6.1）。天花板和地板的面积都是 144 m:sup:`2}， 墙的面积是（周长乘以高度）48 ✖️ 2.5 = 120 m²。 减去 8 扇窗户的面积（16 m²）， 剩下的 104 m² 就是墙壁的面积。那么，房子窗户的热损失率就是 13 W/℃，墙壁、地板和天花板是 59 W/℃，总计 72 W/℃。

精心建造的房屋的热损失率可能是这一数值的两倍，而一般的房屋（几乎不注重热效率）的损耗率为它的 3-6 倍， 那就是几百 W/℃ 了。当然，较小的房屋热量流动面积较小，损耗率也较小。

¹⁵不太注重热效率。¹⁶只需要一个加热器。

示例 6.3.2: 让我们比较一下在室外温度为 0 ℃（冰点）的情况下，将三间不同房屋的温度保持在 20 ℃ 的条件。 首先是 Box 6.1 中描述的一栋建造得非常舒适的房屋，我们将热损失率四舍五入到更方便的 75 W/℃。 我们继续假设建造得还不错的房屋热损失率为 150 75 W/℃，而更一般的房屋 ^{15 15}不太注重热效率。 为 300 75 W/℃。

温差 Δ𝑇 为 20 ℃，因此我们的超级舒服的房子需要 75 W/℃ 乘以 20 ℃，即 1,500 W 来保暖 ^{16 16}只需要一个加热器。 ， 而普通的房子需要 3,000 W，简陋的房子需要 6,000 W。

一旦我们了解了在房屋中保持一定温度（Δ𝑇）所需的功率，我们就可以预测房屋加热器的行为。 加热器通常要么全开，要么关闭。温度调节是通过打开和关闭加热器来实现的，通常由恒温器控制。 给定加热器的额定功率 ^{17 17}额定功率就是满负荷运转时的功率。 ，我们就可以直接预测其占空比（duty cycle）：在某个特定的 Δ𝑇 条件下， 加热器需要开启多长时间才能产生满足功率需求的平均输出。

在合理的世界，加热器的功率单位是 W（或 kW）。而在美国，许多电器的计量单位是 Btu/hr。 由于 1 Btu 等于 1,055 J，1 hr 等于 3,600 s，因此 1 Btu/hr 等于 0.293 W ^{18 18}1,055 J in 3,600 s is 0.293 J/s. 。 全屋加热器（有时以火炉的形式）的额定功率可能为 30,000 Btu/hr（约 10 kW），在这种情况下， 示例 6.3.2 中的三种房屋需要加热器在大约 15%、30% 及 60% 的时间 ^{19 19}这些就是占空比。 内开启，以维持三间房屋的 Δ𝑇 = 20°C。

我们还可以评估上述加热器在三种房屋中可维持多少 Δ𝑇 。如果一个房子需要 100 W/℃，并且还有一个 10,000 W 的加热器， 那它可以维持 100℃ 的温度差 ^{20 20}首先，这个数字高得离谱！其次，与其依赖公式或记忆来判断 100 W/℃ 和 10,000 W 应该相除还是相乘， 不如试着将每种单位的含义内化，或者至少将单位作为一种指示。然后，适当的数学运算就会变得更清晰。 。因此，如果为示例 6.3.2 中的三种房屋配备 10 千瓦（∼30,000 Btu/hr）的加热器， 它们的 Δ𝑇 值分别为 133◦C、67◦C 和 33◦C。显然建造严实的房屋不需要安装如此大功率的加热器。 建筑质量较差的房屋在加热器满负荷运转时可保持 Δ𝑇 = 33◦C 的温差，这意味着如果室外温度降至 -13◦C （8.6◦F）以下， 室内温度将无法保持在 20℃ 以上 ^{21 21}其他可能的选择是忍受较低的内部温度或搬到更暖和的地方。 。

冷却房屋（或冰箱内部，以及其他东西）也是一个热力学过程，但在这种情况下，需要从较冷的环境中移除热能。 移除热能是更困难的一件事，人类利用热源（从用火开始）的历史非常长，相比之下，我们能够按需制冷的历史却非常短 ^{22 22}事实上，保暖（warmth）这个词我们已经用了很久，但「保冷 coolth」这个词却还没有发明出来。 。 第 6.5 节将介绍这在原理上是如何实现的。这里只需注意空调的额定值使用的单位与加热器相同： 在单位时间内可以移动多少热能（从较冷的环境中移出）。在国际单位制中，我们使用 W。在美国，单位是 Btu/hr。

6.4 热机

现在我们要讨论的是，热能除了直接为房屋供热之外，还可以用来做其他事情。我们常说汽车发动机烧汽油， 但把燃烧燃料说成是纯粹的热力作用，好像有些奇怪，因为在燃烧汽油的内燃机汽缸内发生的似乎更像是小型爆炸， 而不仅仅是产生热量。这么说并没有错，但也不是事实的全部。从根本上说，这一过程仍然始于放热事件。 当燃料-空气混合物点燃时，气缸内的温度急剧上升。为了了解直接后果是什么，我们来看看理想气体定律：

\[PV=N k_B T. \tag{6.1}\]

这是物理学家的版本，与化学家的 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 略有不同。两者的比较见附录 B.4 节。

𝑃、𝑉 和 𝑇 是压力、体积和温度（单位为 N/m²、m³ 和开尔文）。𝑁 是原子或分子的数量， 𝑘_B =1.38×10^-23 J/K 是玻尔兹曼常数， 我们将在第 13.2 节中再次看到这个常数。点火时温度上升很快，气缸容积来不及改变 ^{23 23}活动活塞允许容积发生变化，但是在较慢的时间尺度上。 。 式 6.1 告诉我们，在其他条件不变的情况下，当温度升高时，压力也必须随之升高。压力的增加将活塞推开， 增加气缸容积并做功 ^{24 24}这里，功可以用压力乘以体积的变化来测量。因为压力是单位面积上受到的力，而功的单位是力乘以距离。 这也是功的一种定义。 。但这一切都始于温度的急剧升高。

最通俗地说，热量试图从热的地方流向冷的地方──从一锅热汤中流出，或从周围的空气中流向冷饮，或从沙滩上的热沙中流向你的双脚。 这种流动的一部分可以表现为物理上的功，此时系统可以说是在发挥热机的作用。

定义 6.4.1: 热机的定义比较宽泛，是指任何能将热量或热能转化为机械能的系统：移动物体。

示例 6.4.1: 热机的几个例子：热量驱动运动

1. 汽车车顶上的热空气上升，获得动能和重力势能；

2. 风与此非常相似，接触到被太阳加热的地面的空气会上升，并获得大气尺度的动能；

3. 内燃机汽缸内的温度突然升高，促使汽缸内的气体迅速膨胀；

4. 发电厂中的蒸汽在涡轮机中急速流动，因为蒸汽要流向冷凝器。

最后一个例子值得用图表来说明，因为这个过程在我们的生活中非常重要：我们几乎所有的发电方式── 不管是用化石燃料，还是核裂变──都使用这种方式。图 6.2 展示了这一基本形式。表 6.2 的数据显示， 我们 98% 的电力都是由连接着涡轮机的发电机产生的，而 84% 的电力都是由热力过程作为涡轮机的动力（最常见的形式是蒸汽）产生的。

图 6.2: 发电厂的示意图，温度为 𝑇_h 的热源产生蒸汽，蒸汽流向冷凝器，在冷凝器中， 蒸汽通过与水体或蒸发冷却塔提供的冷源（𝑇_c）接触，冷却并还原为液态水。一路上， 奔腾的蒸汽转动连接发电机的涡轮机，输出电力。大多数使用化石燃料、核能、 太阳能热能或地热资源的发电厂都采用这种基本布置。

表 6.2: 发电形式。大部分是利用自然界中的热能，几乎都采用了涡轮机和发电机。2018 年数据来自 [32] 中的表 8.2a。

发电来源	占比	使用热能？	使用涡轮发电机？
天然气	35.3	✓	✓
煤炭	27.3	✓	✓
核能	19.2	✓	✓
水力	7.0		✓
风能	6.6		✓
太阳能光伏板	2.2
生物质	1.5	✓	✓
石油	0.6	✓	✓
地热	0.4	✓	✓
太阳热能	0.09	✓	✓

6.4.1 熵和效率极限

一个深奥而强大的物理学原理限制了，从温度为 𝑇_h 的热源流向温度为 𝑇_c 的冷源的热流中， 可以提取多少有用的功。这就是熵。你不需要完全掌握熵这个深奥而微妙的概念， 就能跟上本章的内容，理解熵在限制热机效率方面所起的作用。不过，这是一个令人兴奋的话题，我们将对它稍作了解。

²⁵例如，恒温、恒压、恒容。

定义 6.4.2: 熵是一个系统在保持相同内能的情况下 ^{25 25}例如，恒温、恒压、恒容。 ，在微观层面有多少种组织方式的度量。

对于那些期望将熵定义为对无序的度量 ^{26 26}熵确实与无序有关，因为在一团乱麻中堆放火柴的方法比整齐摆放火柴的方法要多得多。 的人来说，这个定义可能会让他们感到晦涩难懂。 考虑一种保持恒压、恒容、恒温的气体──从而固定气体中的总能量。组成气体的原子/分子可以排列成数量惊人的多种构型： 例如，每个分子的位置、速度、旋转速度、旋转轴方向或振动状态的任意组合──所有这些都保持着相同的总能量。

²⁷详细说明计数方案超出了本书的范围，但也许重要的是要了解能级是离散的，或者说是量化的， 这就避免了无限多钟可能的能量组合。

示例 6.4.2: 举例说明：一个微小的系统包含 3 个分子，分别标为 A、B 和 C，它们的总能量为 6 个单位。 它们可以各自拥有 2.0 个单位的能量，也可以分别拥有 1.2、1.8 和 3.0 个单位的能量， 或者 3.2、0.4 和 2.4 个单位的能量，或者无数种组合中的任何一种，加起来还是那么多的总能量。 熵提供一种衡量可能出现多少种组合 ^{27 27}详细说明计数方案超出了本书的范围，但也许重要的是要了解能级是离散的，或者说是量化的， 这就避免了无限多钟可能的能量组合。 的尺度。

图 6.3: 一个盒子里装有两种分子或原子（白色、红色）各 4 个，如果它们均匀分布，所有可能的分布所图所示。 这里按照盒子左右两边红色小球的数量进行了分组，每组分布的数量是括号里的数字。 熵与一个系统（在同一能级上）的分布方式有关，其趋势是无序的混合多于（不太可能的）有序分离。

²⁸然而，熵减也是可能的，如果其他地方的熵增与某一地方的熵减相平衡，比如生命体就组织了物质， 但这是以更广阔的宇宙中熵增为代价的。

示例 6.4.3: 为了阐明熵与无序之间的联系，请想象一个同时包含 N₂ 和 O₂ 气体分子的盒子。 如图 6.3 所示，充分混合的排列具有更多可能的构型，因此熵最大。自然界 在封闭系统中不会产生自发组织 ^{28 28}然而，熵减也是可能的，如果其他地方的熵增与某一地方的熵减相平衡，比如生命体就组织了物质， 但这是以更广阔的宇宙中熵增为代价的。 。

热力学第一定律是我们已经接触过的能量守恒定律：

定义 6.4.3: 热力学第一定律：封闭系统的能量是守恒的，如果没有任何东西（包括能量） 进入或离开系统边界，能量就不会发生变化。

现在，我们可以学习第二定律了。

定义 6.4.4: 热力学第二定律：封闭系统的总熵永远不会减少。

正是熵决定了热量的流向（从热到冷，或者保持不变），并从深层意义上定义了「时间之箭」。

²⁹只要系统边界足够大，就不会有能量泄漏。

Box 6.2: 时间之箭

想想看，如果有人给你播放石头落进水里、咖啡杯摔碎在地板上或冰柱融化的视频， 你会毫不费力地分辨出视频是正向播放还是反向播放。

你会得出结论，反向动作是荒谬的，根本不可能发生。散落在地板上的玻璃碎片永远不会自发地组合成一个杯子并从地板上跃起！ 能量不是障碍，因为所有形式的总能量前后都是一样的 ^{29 29}只要系统边界足够大，就不会有能量泄漏。 。关键是熵：越有序的状态越不可能自发出现。 熵是如此无处不在，想象一下，要发现一段倒着播放的「假」视频是多么容易。

这两条热力学定律，加上我们即将看到的量化熵变化的方法，我们就能计算出热机在做功时所能达到的最大效率。 如果我们从温度为 𝑇 的热浴 ^{30 30}所谓 hot bath「热浴」指的是一个恒温的大型蓄水池，这个蓄水池足够大，在提取一定量的热能 Δ𝑄 后， 其温度不会发生明显变化。 中吸取一定量的热量 Δ𝑄_h ，然后允许将部分能量作为有用功 ΔW 輸出， 那么我们必须让剩余的能量以热量 (Δ𝑄_c) 的形式流入温度为 𝑇_c 的冷浴中。 图 6.4 是这一过程的示意图。热力学第一定律 ^{31 31}能量守恒 要求 Δ𝑄_h = Δ𝑄_c + ΔW， 或者说从热浴中提取的所有热量都体现在对外做功并流向冷浴：没有任何损失。

图 6.4: 热机的能量平衡。在能量守恒的前提下，从热浴流向冷浴的热量可以在此过程中做有用功 ΔW 能量守恒（Δ𝑄_h = Δ𝑄_c + ΔW），其中 Δ𝑄 表示热流。熵约束限制了 ΔW 的大小。 箭头宽度与能量成正比，红色数字是文中使用的示例能量值。

那么熵从何而来呢？根据定义 6.4.5，从热浴中提取热量 Δ𝑄_h 会导致热浴的熵变。

定义 6.4.5: 熵变：当能量（热量，Δ𝑄，单位 J）移入或移出温度为 𝑇 的热浴时， 热浴的熵会随之发生变化 Δ𝑆 ，且：

\[\Delta Q = T\Delta S. \tag{6.2}\]

移出热量时，熵减小。增加热量时，熵增加。温度 𝑇 的单位必须是开尔文，而熵的单位是 J/K。

表 6.3: 热力学符号

符号	描述（单位）
𝑇	温度(K)
Δ𝑇	温度变化(K	°C)
Δ𝑄	热能(J)
Δ𝑊	机械功(J)
Δ𝑆	熵变(J/K)
𝜀	效率值
𝜂	熵增比

因此，根据 Δ𝑄_h = 𝑇_h Δ𝑆_h ，从热浴中提取能量会导致热浴中的熵 Δ𝑆_h 减少。 同时，根据 Δ𝑄_c = 𝑇_c Δ𝑆_c ，Δ𝑄_c 的熵被加入到冷浴中。 热力学第二定律规定，熵的总变化不能为负（不能减少）。用方程形式表示如下（符号定义见表 6.3）： ^{32 32}记住：要把方程当作以精确方式表达重要概念的句子，而不是像个算法机器一样死记硬背用来解题。

\[\Delta S_{total} = \Delta S_c - \Delta S_h \ge 0, \tag{6.3}\]

上式中我们减去了 Δ𝑆_h ，因为它是熵减少的量，而 Δ𝑆_c 是一个增加的量。因此，我们要求：

\[\Delta S_c \ge \Delta S_h. \tag{6.4}\]

现在，我们可以问一下，在第二定律的限制下，Δ𝑄_h 的多大一部分可以转化为有用功（ΔW）。 我们将其表示为效率 ^{33 33}这个效率定义抓住了我们所关心的问题：提取的热量中有多少可以转化为有用功。 ，用希腊字母ε表示：

\[\epsilon = \frac{\Delta W}{\Delta Q_h} = \frac{\Delta Q_h-\Delta Q_c}{\Delta Q_h}. \tag{6.5}\]

第二步应用了能量守恒： Δ𝑄_h = Δ𝑄_c + Δ𝑊.

示例 6.4.4: 实际效率： 如图 6.4 所示，如果观察到热机从热浴中带走 30 J，并向冷浴中存入 20 J， 那么该热机产生有用功的效率是多少？

可以看出 ΔW = 10 J，使用公式 6.5，答案是 1/3，即 33%。

我们可以在公式 6.5 中增加一个步骤，用熵的变化来表示：

\[\epsilon = \frac{\Delta W}{\Delta Q_h} = \frac{\Delta Q_h-\Delta Q_c}{\Delta Q_h} = \frac{T_h\Delta S_h - T_c\Delta S_c}{T_h\Delta S_h}, \tag{6.6}\]

这样，我们将每个 Δ𝑄 重新表达为一个等价的 𝑇Δ𝑆 ，其中包含熵的取出/存入。现在， 我们可以用 Δ𝑆_h 除以分子和分母，得到

\[\epsilon = \frac{T_h-T_c\eta}{T_h}, \tag{6.7}\]

其中，我们创建了 𝜂 (eta) 来表示熵的比率： 𝜂 = Δ𝑆_c/Δ𝑆_h， 由公式 6.4 可知，这个值不能小于 1： ^{34 34}如果 𝐴≥𝐵，那么我们知道 𝐴/𝐵≥1。

\[\eta \ge 1. \tag{6.8}\]

看一下公式 6.7，如果我们希望从热流中提取功的效率尽可能高，那么分子越大越好。为此， 我们希望从 𝑇_h 中减去尽可能小的数值。也就是说，我们希望 𝜂 的值尽可能小， 根据公式 6.8 我们知道当 𝜂 = 1 时会出现这种情况。因此，我们得出物理上热机的最大允许效率为：温度单位必须是 Kelvin. 𝑇(K)≈𝑇(°C)+273.

\[\epsilon_max = \frac{T_h-T_c}{T_h}=\frac{\Delta T}{T_h}, \tag{6.9}\]

其中，我们将 Δ𝑇 = 𝑇_h - 𝑇_c 定为热浴和冷浴之间的温差。 我们得出的一个主要结论是，Δ𝑇 越大，效率越高，当 Δ𝑇 的值很小时，效率会变得微乎其微。

³⁵对于「正常」环境来说，300 K 是一个方便且合理的假设，相当于 27 °C 或 80.6 °F。

示例 6.4.5: 如果在 800 K 的热浴和 300 K 左右的环境温度 ^{35 35}对于「正常」环境来说，300 K 是一个方便且合理的假设，相当于 27 °C 或 80.6 °F。 之间运行， 热机的最高效率可达 62.5%。

示例 6.4.6: 在沸水和冰水之间运行的热机，水的温度为 𝑇_h ≈ 373 K， Δ𝑇 = 100 K，最大可能效率为 𝜀 = 0.268，即 26.8%。

示例 6.4.7: 在人体皮肤温度 35°C 和环境温度 20°C 之间运行的热机，其最大效率为

𝜀 = 15/308 ≈ 0.05，即 5%。

如果冷浴固定不变 ^{36 36}这种情况很常见，因为 𝑇_c 通常是空气或水体的环境温度。 ，随着热源温度的升高，最大可能效率也会提高。反之，对于给定的 𝑇_h 随着冷源温度的降低 Δ𝑇 也会随之升高，因此效率会提高。

³⁷绝对零度，-273°C。

Box 6.3: 极限情况

如果 𝑇_c 接近 0 K ^{37 37}绝对零度，-273°C。 ，则最大效率接近 100%。我们可以追溯到关系式 Δ𝑄 = 𝑇Δ𝑆， 这意味着当 𝑇 非常小时，不需要很多热量（Δ𝑄）就能让冷浴中增加的熵（Δ𝑆_c）足够大， 从而满足禁止净熵减少的定律，因此图 6.4 中 Δ𝑄_c 的箭头宽度可以相当细（小）， 使得 ΔW 与 Δ𝑄_c 一样宽（大），这意味着基本上所有的能量都可以用来做功，效率可以非常高。 实际上，地球环境并不能提供足够冷的冷浴来产生这种效应，但讨论这个问题可以更好地理解公式 6.9 的工作原理。

发电厂（图 6.2）或汽车发动机等真正的热机，其效率大概只有理论效率的一半左右，因为还有其它的工程挑战。 发电厂的典型效率为 30-40%，而汽车发动机的效率通常在 15-25% 之间。作为对比， 理论上 700-800 °C 的燃烧温度，最高效率约为 60%。

6.5 热泵

我们可以把热机反过来，称之为热泵。在这种情况下，我们利用外部的功来驱动热量流向与自然工作方向相反的方向， 就像把热量推上坡一样。比如冰箱 ^{38 38}以及冷柜、空调。 就是这样工作的。图 6.5 展示了这一过程。

图 6.5: 热泵的能量平衡。利用做功（例如来自电源的功 ΔW）可以驱动热量从冷的地方（如冷藏室内部） 流向较热的环境，这有点违反直觉。𝑇_c → 𝑇_h 的情况可能包括冷冻室内部 → 室内空气； 凉爽的屋内 → 夏季室外；冬季室外 → 暖藏的室内。我们仍然必须满足能量守恒（Δ𝑄_h = Δ𝑄_c + ΔW）， 其中 Δ𝑄 是热流。对于给定的 ΔW 输入，熵约束限制了 Δ𝑄_c 的大小。箭头宽度与能量成正比， 红色数字为文中使用的示例能量值。

这种情况也可以引入第二定律来推导效率，与上文非常相似的逻辑。我们根据实际应用场景，定义了两种效率指标。

³⁹如冰箱、冷柜、空调等

定义 6.5.1: 𝜀_cool ：在制冷时 ^{39 39}如冰箱、冷柜、空调等 ，我们关心的是在给定输入功（ΔW）的情况下， 能从较冷的环境中带走多少热量（Δ𝑄_c）。因此，制冷效率是：𝜀_cool = Δ𝑄_c/ΔW。

⁴⁰如用热泵加热房屋

定义 6.5.2: 𝜀_heat ：在制热时 ^{40 40}如用热泵加热房屋 ，我们关心的是在给定输入功（ΔW）的情况下， 有多少热量（Δ𝑄_h）进入热浴。因此，制热效率是：𝜀_heat = Δ𝑄_h/ΔW。

推导过程与上文类似，但现在我们要求加入热浴中的熵不得小于从冷浴中去除的熵，这样熵的总变化才不会为负 ^{41 41}施加这一条件的结果是 Δ𝑆_h ≥ Δ𝑆_c；与公式 6.4 相反，因为热流方向发生了变化。 。 通过热泵制冷和制热的最大允许效率为：

\[\epsilon_{cool} \le \frac{T_c}{T_h-T_c} = \frac{T_c}{\Delta T}, \tag{6.10}\]

和同样的，温度单位必须是开尔文。

\[\epsilon_{heat} \le \frac{T_h}{T_h-T_c}=\frac{T_h}{\Delta T}. \tag{6.11}\]

这些公式看起来很像公式 6.9，只是颠倒了一下。注意到最大效率可以大于 1 ！ ^{42 42}见方框 6.4

⁴³Δ𝑇 的单位用 K 和 °C 都可以。

示例 6.5.1: 在 20°C 的房间里，将冰柜保持在 -10°C 的效率极限是多少？

首先，我们用开尔文表示温度：𝑇c ≈ 263 K，Δ𝑇 = 30 K。 ^{43 43}Δ𝑇 的单位用 K 和 °C 都可以。 根据公式 6.10，最高效率计算为 𝜀_cool ≤ 8.8 (880%)。

示例 6.5.2: 当室外温度为零下 10°C 时，将室内温度保持在 20 °C 的效率极限是多少？

首先，我们用开尔文表示温度：𝑇h ≈ 293 K 和 Δ𝑇 = 30 K。用公式 6.11，最高效率计算为 𝜀_heat ≤ 9.8 (980%)。

也许我们可以把这种情况比作转账，即支付 20 元的手续费将 1000 元从 A 账户汇入 B 账户。 这并不意味着 1000 元是从 20 元中创造出来的，只是花费了 20 元（就像 ΔW）将一笔更大的金额转入了 B 账户。 但是，如果 A 账户属于其他人，那么看起来就像是你把自己的 20 元变成了 1000 元，收益高达 5000%， 尽管这笔钱确实来自别处。

Box 6.4: 大于 100% 真的可能吗？

乍一看，效率大于 100% 似乎是不可思议的，是不可能的。例 6.5.1 实质上是说，只需输入 1 J 的功，也许我们可以把这种情况比作转账，即支付 20 元的手续费将 1000 元从 A 账户汇入 B 账户。 这并不意味着 1000 元是从 20 元中创造出来的，只是花费了 20 元（就像 ΔW）将一笔更大的金额转入了 B 账户。 但是，如果 A 账户属于其他人，那么看起来就像是你把自己的 20 元变成了 1000 元，收益高达 5000%， 尽管这笔钱确实来自别处。就能移动多达 8.8 J 的热能！这类似于武术中的柔术，即利用对手的动量对其不利，只需很少的功来引导其流动。 我们说服冷藏室中的一束热能移动到室外更热的地方（上坡；逆自然流向），在此过程中消耗的能量少于这束热能中的能量。

我们的「效率」指标大于 100% 是一种假象：是我们定义 𝜀_cool 和 𝜀_heat 的方式造成的。 我们并没有违反能量守恒，只是把一小块（ΔW）放在分母中，形成效率指标。从这个意义上说， 这不是通常意义上的效率指标，即把最大的量（总量）放在分母中。

在供热方面，值得将热泵的输出功率与直接供热进行比较。让我们重温一下第 6.3 节中探讨的方案。

⁴⁴150 W/°C 乘以 40°C⁴⁵我们求解的是 ΔW = Δ𝑄h /𝜀_heat，并假设在一秒钟内移动了能量，因此单位从 J 变成了 W。

示例 6.5.3: 如果房屋的热性能为 150 W/°C，室外温度为零下 20°C，而我们希望室内温度保持在 20°C， 那么我们需要以燃烧燃料（天然气、丙烷、木柴）或直接用电的形式为房屋提供 6,000 W 的能量 ^{44 44}150 W/°C 乘以 40°C 。

但根据式 6.11，理论上热泵只需使用 820 W 的热能就能移动 6,000 W 的热能，这并不违反第二定律。 我们有 𝜀_heat ≤ 293/40 = 7.3，而 6,000 J (Δ𝑄_h) 除以 7.3 得到 820 J（即 ΔW）。 ^{45 45}我们求解的是 ΔW = Δ𝑄h /𝜀_heat，并假设在一秒钟内移动了能量，因此单位从 J 变成了 W。

工程上的现实情况会使热泵无法运行到热力学极限，但我们至少可以期望以低于 2,000 W 的功率实现例 6.5.3 中 6,000 W 的目标。 热泵确实非常特别。

正如式 6.10 和式 6.11 所示，当 Δ𝑇 较小时，热泵的效率最高。因此，在高温环境中的冰箱不仅必须更加努力地工作以保持较大的 Δ𝑇， 而且工作效率也会更低，可谓双重打击。对于家庭供暖，热泵在气候温和、Δ𝑇 不那么严酷的地区最有优势。

6.5.1 消费者指标： COP、EER、HSPF

图 6.6: 美国典型的热泵能源标签，显示 EER 约为 21，HSPF 约为 11。摘自美国能源部。

在选购热泵或空调（或冷冻机/冰箱）时，产品会标明性能系数 (COP) 或能效比 (EER) 或供暖季性能系数 (HSPF)，如图 6.6 所示。这些与我们的 𝜀_heat 和 𝜀_cool 有什么关系呢？ 第一个很简单。

定义 6.5.3: COP： 用于供暖的热泵是根据性能系数（COP）来表示性能的，这个大家已经很熟悉了：

\[COP=\epsilon_{heat} \tag{6.12}\]

⁴⁶这相当于将较热环境的温度保持在 27°C，比如在为房屋保暖时。

示例 6.5.4: COP 示例： 利用图 6.5 中的红色数字，我们可以计算出 𝜀_heat、COP， 然后确定理论上允许的 𝑇_c 的最小值（对应理论上的最高效率）， 在给定 𝑇 _h = 300 K 的条件下。 ^{46 46}这相当于将较热环境的温度保持在 27°C，比如在为房屋保暖时。

我们回到 𝜀_heat 的原始定义，即 Δ𝑄h/ΔW，对于我们的示例来说，其值为 30/10，或 3.0， COP 即为 3.0。

将 𝜀_heat,max = 𝑇_h/Δ𝑇 设为 3.0，我们会发现 Δ𝑇 为 100 K， 因此在这种情况下允许的最小 𝑇_c = 200 K。

EER 则不同，也许有点奇怪。EER 的定义是每输入一份功（ΔW，单位是瓦时，Wh）移动的热量 （Δ𝑄_c，单位是 Btu）。啥？！有时候，世界就是这么古怪。但我们可以解决这个问题。 如果看到一个 EER（Btu/Wh），我们可以将分子和分母转换为相同的单位。我们可以将分子中的 Btu 转换为 Wh， 或者将分母中的 Wh 转换为 Btu，或者将分子和分母都转换为 J ^{47 47}或选择任何其他能量单位。为了便于说明， 我们选择最后一种方法。要从 Btu 换算成 J，我们要将分子乘以 1,055。要将瓦特转换为焦耳， 我们要将分母乘以 3,600 ^{48 48}1 Wh 等于 1 J/s 乘以 3,600s。 。下面的定义给出了换算系数。

定义 6.5.4 ERR： 用于制冷的热泵用能效比 (EER) 衡量性能，对公式 6.10 修改如下。

\[\epsilon_{cool}=EER(\frac{Btu}{Wh})\frac{1055J/Btu}{3600J/Wh}=ERR\cdot0.293 \tag{6.13}\]

或者反过来：

\[EER=\frac{\epsilon_{cool}}{0.293}\approx 3.41 \times \epsilon_{cool} \tag{6.14}\]

示例 6.5.5: ERR示例： 使用图 6.5 中的红色数字，我们可以计算出 𝜀_cool、EER， 然后确定理论上允许的最大 𝑇_h （对应理论上的最大效率）。目标温度为 260 K，大概是冰柜中的温度。

我们回到 𝜀_cool 的原始定义，即 Δ𝑄_c/ΔW，对于示例中的数字，计算为 20/10， 即 2.0。那么 EER 就是这个数值的 3.41 倍，即 6.8。

将 𝜀_cool = 𝑇_c/Δ𝑇 设为 2.0，我们得到 Δ𝑇 为 130 K， 因此这种情况下允许的最大 𝑇_h = 390 K。

根据式 6.10 和式 6.11，理论上的最大效率取决于 Δ𝑇，会随着室外温度的变化而波动。 因此，通常采用季节平均值，即 SEER（seasonal EER）。与此类似，HSPF 与 COP 表示同一种性能， 但单位与 EER 相同，并采取供暖季的平均值。

定义 6.5.5 HSPF： 用于供暖的热泵有时采用供暖季性能系数 (HSPF)，该系数在式 6.11 基础上修改，如下。

\[\epsilon_{heat}=HSPF(\frac{Btu}{Wh})\frac{1055J/Btu}{3600J/Wh}=HSPF\cdot0.293 \tag{6.15}\]

或者反过来：

\[HSPF=\frac{\epsilon_{heat}}{0.293}\approx 3.41 \times \epsilon_{heat}=3.41 \times COP \tag{6.16}\]

示例 6.5.6 HSPF 示例： 利用图 6.5 中的红色数字，我们可以计算出 𝜀_heat 和 HSPF。

我们回到 𝜀_heat 的原始定义，即 Δ𝑄_c/ΔW，计算结果为 30/10，即 3.0。 因此 COP 为 3.0，HSPF 为它的 3.41 倍，即 10.2。

热泵的典型 COP 值约为 2.5 至 4.5 ^{49 49}转换到 HSPF 约 8–15。 。这意味着，与直接电加热相比， 通过热泵加热房屋可节省 2.5 至 4.5 倍的能源。相当划算。空调的 EER 值通常在 10-20 之间， 相当于 𝜀_cool 为 3-6， 与热泵在加热模式下的效率相似。 电热泵通常都可以在加热和制冷两种模式下运行，使其成为将热能送入或送出房屋的多功能高效解决方案。

利用地表下适中的温度作为外部热浴的热泵被称为“地”热泵，但与地热能（作为一种能源）无关。 与使用外部空气（温度更极端）的热泵相比，地热泵的 Δ𝑇 更小，因此更节能。

6.6 总结：热能

有时，我们只想要热量。烹饪、家庭取暖和材料加工都需要直接加热。燃烧化石燃料、木柴、生物燃料、提取地热能， 或者只是让太阳温暖我们的房屋，都是直接利用热能。比热容告诉我们改变物体温度需要多少热能， 如果缺乏更具体的信息，我们可以使用 1,000 J/kg/℃ 进行粗略的推测。 我们还了解了如何使用热损失率（如 200 W/℃）来估算家庭供暖需求。

但事实证明，我们使用热能的目的远不止于此。我们约 84% 的电力都是由热机产生的， 热机利用热流驱动涡轮转动，带动发电机发电。热机所能达到的最高效率受熵的限制，为 𝜀 < Δ𝑇/𝑇_h， 尽管在实践中，我们往往比热力学极限低两倍或更多。无论如何，热能在我们社会的运行中发挥着巨大的作用。

热泵就像反向的热机：通过做功驱动热能逆向流动。任何制冷或冷却系统都可能使用这种方法。 由于热泵只需要移动热能，它们移动的每焦耳能量只需要一小部分焦耳就能完成， 因此热机是非常聪明和高效的设备。

6.7 思考题

1. 如果你的身体（以水为主）质量为 70 kg，比热容为 3,500 J/kg/℃，将体温升高 1℃ 需要多少焦耳？

⁵⁰本题仅考虑空气，忽略其他物体——包括墙壁和家具——在实际情况中它们会显著增加所需时间。⁵¹利用密度来计算空气质量。

2. 一个空间加热器在一个空房间的加热空气 ^{50 50}本题仅考虑空气，忽略其他物体——包括墙壁和家具——在实际情况中它们会显著增加所需时间。 。如果房间地面面积为 10 m²，高度 2.5 m，加热器额定功率为 1,500 W，将空气温度升高 10℃ 需要多长时间？空气的密度 ^{51 51}利用密度来计算空气质量。 为 1.25 kg/m³。请以分钟为单位给出近似值。

⁵²衣服的内表面接近皮肤温度，外表面接近环境温度。

3. 早晨在 15℃ 的凉爽房间中穿衣服时，你会把衣服加热到皮肤温度（35℃）和环境温度之间的某个中间温度。 ^{52 52}衣服的内表面接近皮肤温度，外表面接近环境温度。 如果你的衣服质量为 2 kg，需要向衣服中沉积多少能量？如果你以 100 W 的功率散热，这需要多长时间？

⁵³注意，微波炉的额定功率可能是 1,500 W，但并非所有能量都进入卷饼，因此我们选择 700 W 以更贴近实际。

4. 你弄到了一个 1 公斤的巨型墨西哥卷饼，但决定先放进冰箱稍后食用。取出来时温度为 5℃，你想在微波炉中加热到 75℃ 再吃。如果微波炉以 700 W 的速率向卷饼中输入能量， ^{53 53}注意，微波炉的额定功率可能是 1,500 W，但并非所有能量都进入卷饼，因此我们选择 700 W 以更贴近实际。 对于一个高含水量、有效比热容为 3,000 J/kg/℃ 的卷饼，需要运行微波炉多长时间？

⁵⁴……适用于 150 m² 占地面积⁵⁵我们只计算外墙的一半厚度，因为它们不会从内到外全部达到室内温度。

5. 假设你冬天度假回来，发现房子温度为 5℃，你想把它加热到 20℃。假设房子中包含：500 kg 的空气； ^{54 54}……适用于 150 m² 占地面积 1,000 kg 的家具、书籍和其他物品；以及墙壁、天花板和地板，相当于 6,000 kg 的有效 ^{55 55}我们只计算外墙的一半厚度，因为它们不会从内到外全部达到室内温度。 质量。使用通用的比热容，这总共需要多少能量？以 10 kW 的功率加热需要多长时间？请以直观实用的单位表示，由于这是估算，可以自由取整。

6. 一栋热损失率为 200 W/℃ 的房子，仅配备两个 1,500 W 的空间加热器，如果要维持室内温度 20℃，室外温度最低可以是多少？

7. 一栋热损失率为 200 W/℃ 的房子，配备一个 5,000 W 的加热器。如果室外温度为 −10℃，加热器全天候运行，室内温度会达到多少？

⁵⁶提示：计算此情况下所需的平均功率。

8. 一栋超级保温的房子，热损失率为 100 W/℃，配备一个 5,000 W 的加热器。如果室外温度为冰点，要维持室内温度 20℃，加热器需要运行多大比例的时间？ ^{56 56}提示：计算此情况下所需的平均功率。

⁵⁷……不使用热泵：直接以 100% 的效率沉积能量。

9. 如果一栋房子的热损失率为 150 W/℃，在室外温度稳定为 −5℃ 的情况下，使用直接电加热 ^{57 57}……不使用热泵：直接以 100% 的效率沉积能量。 将室内保持在 20℃，每天需要多少费用？电价为 $0.15/kWh。

⁵⁸想想由热或热释放引起或产生的运动。

10. 请举出至少一个正文中未列出的热量转化为其他形式能量的例子。 ^{58 58}想想由热或热释放引起或产生的运动。 正文中我们提到了汽车上方的热空气、风、内燃机和蒸汽涡轮发电厂。

11. 在美国，唯一不涉及旋转轴的重要发电形式是什么？

12. 如果一罐 350 mL 的汽水（视为水）从 20℃ 冷却到 0℃，提取了多少能量？利用平均温度和关系式 ΔQ = TΔS 计算罐中熵的减少量（单位 J/K）是多少？

13. 某热机在你的皮肤温度和比皮肤低 20℃ 的环境温度之间运行，其最大热力学效率是多少？

⁵⁹而且确实如此！⁶⁰大气风和天气被限制在大气层最低的一层——对流层中，延伸到约 12 公里的高度。

14. 我们可以将大气中的风视为一台巨型热机， ^{59 59}而且确实如此！ 运行在 288 K 的地表温度和对流层顶 ^{60 60}大气风和天气被限制在大气层最低的一层——对流层中，延伸到约 12 公里的高度。 的 230 K 之间。这台热机在将太阳加热转化为气流方面的最大效率是多少？

⁶¹我们不应期望地球上任何太阳衍生的过程能超过这一极限。

15. 既然太阳驱动地球上的能量过程，我们可以探索一个在太阳表面温度（5,800 K）和地球表面温度（288 K）之间运行的_process_的最大可能热力学效率。这个最大效率是多少？ ^{61 61}我们不应期望地球上任何太阳衍生的过程能超过这一极限。

16. 一台热机从 800 K 的热浴中提取 100 J 的热量，并将 80 J 的热量传递到 300 K 的冷浴中。该热机产生有用功的效率是多少？与理论最大值相比如何？

⁶²……在将食物能量转化为有用功方面⁶³热源温度\(T_h\) 将是体内温度 37℃。⁶⁴提示：我们的身体是否能经常获得这么低的温度？

17. 人体效率 ^{62 62}……在将食物能量转化为有用功方面 在 25% 左右，这意味着要做 100 J 的外部功，我们需要摄入 400 J 的能量含量。为了研究人体能量是否作为热机运作，请计算在热力学上要达到这一效率，冷源温度\(T_c\) 需要多低。 ^{63 63}热源温度\(T_h\) 将是体内温度 37℃。 你是否认为我们的生物化学过程是作为热机运作的，还是不是？ ^{64 64}提示：我们的身体是否能经常获得这么低的温度？

⁶⁵视为水，回想水的密度为每毫升一克。

18. 一罐 350 mL、温度 20℃ 的汽水 ^{65 65}视为水，回想水的密度为每毫升一克。 被放入 EER 额定值为 10.0 的冰箱中。要从汽水中移除热能使其达到冰爽的 0℃，你需要消耗多少能量（ΔW）？

19. 如果一台冰箱以其理论\(\epsilon_{\text{cool}}\) 极限的一半运行，在 40℃ 的车库中维持 0℃ 的内部温度比在 20℃ 的室内维持同样的温度需要多消耗多少能量？这里涉及两个因素：即使效率相同，冷却能量也与 ΔT 成正比，但效率本身也会因温差翻倍而变化——双重打击。

20. 从直接电加热改为使用 COP 为 3 的热泵，意味着获得同等热效益只需消耗三分之一的能源。如果一栋房子全年使用直接电加热的平均供暖费用为 30 kWh/天，电价为 $0.15/kWh，需要多长时间才能收回一台新热泵 5,000 美元的安装成本？