附录 A 数学基础#

（大模型翻译，未校对）

根据不同的背景，数学和方程式对一些学生来说可能是一种令人生畏的"外语"。这个简短的附录旨在提供技巧复习，并希望能激发学生与数学之间建立更加平和的关系。

A.1 对小数点宽容一些#

首先，我们可以与数字建立一种更自然、更宽容的关系。就像你的朋友一样，它们不需要被要求达到严苛的标准：它们只是在试图告诉你一些有用的东西。记住 $\pi$ 大约是 3，远比记住更多小数位更重要。如果一个朋友在沙地上画了一个圆，问它的面积是多少 ¹ ¹这才是一个好朋友！，那个定义不清、不规则的边界无法精确测量，何必多带几位小数呢？也许只需要认识到半径大约是一米，所以面积大约是 $\pi$ 平方米。搞定。 ² ²还要注意，圆可以放在一个边长为 2 米的正方形内，所以面积应该小于 $4\,\text{m}^2$，这是一致的。这里的信息是：放过自己，不要在答案中过度表示精度（小数位数）。

学生对数字产生刻板关系，部分原因是作业和考试题往往预先给出假定精确已知的数字。但现实世界很少如此慷慨，让我们不得不去寻找近似数和估算值。

有些课程将有效数字的概念形式化，这当然是好的。但这种系统会增加学习材料的学生的压力（又多了一件可能出错的事情！）。

通过对数字使用近似值，我们可以更自如地在脑海中做数学运算。练习可以使之成为终身的技能，变成第二天性。了解一些快捷方法是很有帮助的。

³实际上 $\sqrt{10} \approx 3.162$。⁴金钱的例子通常看起来更容易在脑海中把握，因为我们经常处理金钱。如果说金钱的例子更容易，那说明数学本身并不难：不熟悉的语境往往是让学生困惑的原因。

示例 A.1.1：为了探索近似数学的韵味，让我们考虑这个陈述：

\[\pi \sim 10^{1/3} \sim 10/3 \sim 3. \tag{A.0}\]

你的计算器会不同意，但这正是我们使用 $\sim$ 符号（相似）而不是 = （等于）的原因。另一个常见的选项是 $\approx$ （约等于）。你的计算器没有你聪明，无法体会什么时候是"接近"的。它很迂腐。很刻板。你可以做得更好。

我们如何使用这种松散的关联呢？我们之前已经见过使用 $\pi \sim 3$ 的例子，所以这里不再重复。

那 $\sqrt{10} \sim 3$ 呢？ ³ ³实际上 $\sqrt{10} \approx 3.162$。这意味着 $3 \times 3 \sim 10$，这足够真实（因为 10 和 9 非常接近；仅相差约 10%）。这意味着如果你每天付给我 30 美元，一个月下来，我立刻就知道大约是 900 美元。这个月是 30 天还是 31 天？谁在乎呢？知道我会多出约 900 美元就足以做出合理的计划，所以它非常有用，即使不精确。

$10/3 \sim 3$ 怎么样？这个其实和说 $\sqrt{10} \sim 3$ 非常相似，因为两者都意味着 $3 \times 3 \sim 10$。再举一个例子，假设你找到了一份 $100,000/年的工作，但只能工作 4 个月（一年的三分之一）。 ⁴ ⁴金钱的例子通常看起来更容易在脑海中把握，因为我们经常处理金钱。如果说金钱的例子更容易，那说明数学本身并不难：不熟悉的语境往往是让学生困惑的原因。如果 $10/3 \sim 3$，那么你会期望拿到大约 $33,000。何必在精确度上纠结呢？税收会比不精确度更大。同样，有一个大概的感觉并制定计划就足够了。

就像九九乘法表深深刻在我们脑海中一样，记住几个倒数对于快速心算也非常有用。表 A.1 给出了一些相乘约为 10 的例子。鼓励学生向表中添加更多例子，用自己最喜欢的数字填补空白。

表 A.1 中的值选择为相乘等于 10，这是一个任意但方便的选择。这让我们可以"绕回"表格，继续从 3 往下到 1.25、1 等，并知道 1.25 对应的条目将是 8.0。要有效地使用这个表，忘记小数点在哪里！把 8 的倒数想象成"1.25 类的"，意味着它可能是 0.125、12.5 或其他某个亲戚。关键特征是 125。同样，2.5 的倒数将以 4 开头。

⁵这就是"模糊"数字有用的地方：如果你眯着眼看，$8 \sim 10$。

示例 A.1.2：表 A.1 对我们有什么用？我们可以把倾向于在脑中挑战的除法问题，转化为更直观的乘法问题。几个例子可以说明它们的用处。

4000 的八分之一是多少？与其进行除法运算，不如乘以倒数——一个"1.25 类的"数。在这种情况下，答案是 500。我们可以用常识和直觉排除 4000 作为 4000 的 1/8，因为我们知道答案应该显著小于 4000。但 50 又太过了。另外，我们可以认识到 1/8 离 1/10 不远， ⁵ ⁵这就是"模糊"数字有用的地方：如果你眯着眼看，$8 \sim 10$。4000 的 1/10 是 400，接近 500。

一分钟是多少小时？现在我们要找的是一小时的 1/60，所以我们拿出"1.25 类的"倒数，权衡 0.0125、0.00125、0.000125 等选择。嗯，1/60 不能离 1/100 太远，而 1/100 将是 0.01。我们预期结果比 0.01 大一点，得出一分钟约为 0.0167 小时。

现在我们做几个快速陈述，可能并非所有情况都完全匹配我们的表，但你应该能够使用模糊的数字来协调这些陈述。七个美国人中大约有一个是 14%。一个月大约是一年的 8%（1/12）。6 进 100 大约 16 次多一点。四个 25 美分组成一美元。1/3 大约进 1 约 3 次。一个 30 人班级中每个学生约占班级人口的 3%。

一些学生把数学和数字视为危险的、不受欢迎的领域——也许就像可能会溺水深水。但想想海豚，它们不仅不怕沉浸在深水（数字）中，还在其表面嬉戏玩耍。数字也可以是这样的：把它们甩来甩去，看看计算在很多不同方式下是否合理。人类不是天生的游泳者，但我们可以学会在水中感到舒适。同样，我们可以学会在数量上感到舒适，甚至享受摆弄数字的乐趣。所以，穿上你的救生圈，跳进来吧！

A.2 忘掉规则#

数学在某些方面只是真理的一种表达——关于数字及其运算之间关系的逻辑。我们很容易被多年来数学课上教的所有规则所淹没，学生 ⁶ ⁶……老师也是！可能会忽视其下面简单且可验证的逻辑。大多数数学错误来自有缺陷或逐渐衰退的记忆。好消息是，我们通常可以做简单的测试来确保我们做对了。教训是不要死记数学！数学是有逻辑意义的，我们可以通过理解几个核心概念来创造正确的规则。本节试图教授这种技能。

考虑一下语言的概念（参见 Box A.1 中的有趣例子）。语言充满了语法和拼写规则，然而我们在不需要知道什么是形容词或介词的情况下学会了说话。我们在说话成为第二天性之后才学习规则。与数学不同的是，语言的规则可以违背逻辑，并有许多例外。从这个意义上说，数学要容易得多，也更自然。它是宇宙的语言。我们可能与一个外星物种没有共同的词汇 ⁷ ⁷除非，也许我们会发现我们不可思议地共享"袜子"（sock）这个词。，但我们可以确定，我们在整数、它们的加法和乘法上会达成一致，一直到微积分和其他高级数学概念。我们可以利用它的内在本质来为我们自己揭示规则。

⁸……承认这个练习对非英语母语者可能不那么直觉明显⁹组合数是 4!（四的阶乘），即 $4 \times 3 \times 2 \times 1$。这是一个值得做的练习：写出所有 24 种组合，不仅是为了验证结果，还为了练习如何以有序的方式系统地打乱单词——在此过程中发明你自己的功能性规则。你甚至可能偶然发现为什么 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 是基于你的系统化方法来计算组合数的正确方式。

Box A.1: 语言的规则

让我们暂且搁置一下，探索一下语言的规则是如何在我们不加思索的情况下就显而易见的。 ⁸ ⁸……承认这个练习对非英语母语者可能不那么直觉明显考虑以下构造：trlaqtoef; flort; aoipw; squeet; yparumd。这些都不是英语单词，但只有其中两个甚至值得考虑为可行的单词。其他的违反了关于字母之间如何排列的"不成文"规则。我们无法引用具体的规则就认出了这些无意义的东西。数学也可以这样工作：我们可以依靠直觉来排除无意义的东西。

这四个词怎么样：that, how, happen, did。现在把它们排列成一个句子，忽略标点。不管尤达大师会怎么排列，24 种可能的排列 ⁹ ⁹组合数是 4!（四的阶乘），即 $4 \times 3 \times 2 \times 1$。这是一个值得做的练习：写出所有 24 种组合，不仅是为了验证结果，还为了练习如何以有序的方式系统地打乱单词——在此过程中发明你自己的功能性规则。你甚至可能偶然发现为什么 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 是基于你的系统化方法来计算组合数的正确方式。中只有一种能构成一个有效的句子。你直觉到了吗？How did that happen? 没有有意识的思考，你就充分理解了语法的底层规则，甚至可以在不筛选所有组合的情况下看到答案。数学也可以这样工作。

A.3 面积与体积#

本书及书中的问题，经常假设读者能够计算一些基本形状的面积或体积。专注于记忆公式的学生可能看到的是一堆 $\pi$、$R$ 的各种幂次以及一些难以记住的数值系数。对于圆和球，我们如何理清这一团乱麻？

一个有用的技巧是把圆变成正方形，或把球变成立方体，在这些更熟悉的领域里我们更有把握。希望边长为 $\ell$ 的正方形的周长（环绕长度）是 $4\ell$ 是显然的。面积将是 $\ell \cdot \ell = \ell^2$。单位也能帮助我们：如果 $\ell = 3$ m，那么周长也应该是一个以米为单位的长度，面积应该以平方米为单位。用 $\ell^2$ 来描述周长是绝对不行的（单位错误），面积中不包含类似 $\ell^2$ 的东西也不行。立方体版本的体积是 $\ell^3$。

关于那些圆和球：任务是将圆或球放入正方形或立方体内，使得 $\ell = 2R$。换句话说，直径（$2R$，其中 $R$ 是半径）恰好横跨正方形的边长。圆的周长应该小于正方形的 $4\ell$ 周长 ¹⁰ ¹⁰……字面上就是在切角，但要远大于 $2\ell$，后者代表直接穿过正方形中心的一条来回路径。 ¹¹ ¹¹这条路径看起来就像正方形中间的一条线，作为来回行程穿越两次。所以圆周长在 $2\ell$ 和 $4\ell$ 之间，可能接近 $3\ell$。由于 $\ell = 2R$，周长应该接近 $6R$。怀疑 $\pi \sim 3$ 在某处出现，距离周长为 $2\pi R$ 并不远。又对了！

面积也是类似的：正方形内圆的面积小于周围正方形的面积（$\ell^2$），但肯定大于正方形面积的一半——也许大约四分之三。用半径表示，整个正方形的面积是 $\ell^2 = 4R^2$，其四分之三是 $3R^2 \sim \pi R^2$。又对了！

体积更难想象一些，但球的体积同样会小于立方体的体积：$\ell^3 = 8R^3$。也许球的体积大约是立方体的一半，即 $4R^3$。但 $\pi$ 放在哪里呢？在这些情况下它总是乘数，所以我们可以无害地加入一个 $\pi \sim 8/3 \sim 1$ 的因子，得到体积 $\frac{4}{3}\pi R^3$。

关键在于，忘记确切的公式并不致命：只需回到更熟悉的设定，然后从那里构建出来。对于圆柱体，只需结合圆形和矩形几何的元素，意识到体积是圆的面积乘以圆柱体的高度 ¹² ¹²……或长度，如果侧放的话。外部表面积是两个端盖面积（各 $\pi R^2$）加上圆的周长乘以高度——就像把表皮展开成一个矩形来计算其面积。

A.4 分数#

对分数感到焦虑吗？你对半个饼（1/2）的样子有直觉吗？一个饼的 1/5 呢？哪个更大：一个饼的 1/3 还是一个饼的 1/4？你对一美元中有几个 25 美分有直接的感知吗？回到饼：如果一个朋友递给你两个饼盘，每个装有 1/3 个饼，你现在总共有不到半个饼、超过半个饼，还是恰好半个？如果你对想象和回答这些问题几乎没有困难，那你就可以了！

但是分数还有很多内容：加法、减法、乘法和除法的规则呢？通分以及那些事情呢？本节的要点是，你可以在自然直觉 ¹³ ¹³……正如第一段所表达的的基础上验证和构建分数运算的正确规则。你不是在黑暗中！

首先，表示。1/5 是什么意思？字面上，我们可以说把某物（比如一个饼）分成 5 份（分母），取出 1 份（分子）。隐含地，我们是在将某物（饼）乘以分数 1/5。那么 3/5 呢？我们可以多种方式解释它 ¹⁴ ¹⁴……都是正确的，取决于当前问题的语境，我们将用几种方式来表达：

\[\frac{3}{5} = 3 \times \left(\frac{1}{5}\right) = \frac{6}{10} = 2 \times \left(\frac{3}{10}\right) \tag{A.1}\]

图 A.1 直观展示了式 A.1 中的前两种选择。我们可以把一个饼切成五片并取其中三片，或者把三个饼切成五等份并取其中一份。无论哪种方式，我们最终得到的量是相同的。可能性是无穷的，值得自己编造一些变体。式 A.1 中的最后步骤暗示了一种自由：我们可以把一个饼分成 10 份并选择 6 份。或者我们可以把两个饼分成 10 份并取其中的 6 份，最终得到相同数量的饼。

../_images/figA-1.png — **图 A.1：**对应式 A.1，我们可以把一个饼切成五等份（左）并保留其中三份（左下）；或者我们可以把三个饼切成等面积的块（同色；有时分散在不同的饼上）并取其中一份。在这两种情况下，底行是相同数量的饼：一个饼的 3/5 等于三个饼的 1/5。#

让我们基于我们已知的东西（直觉）来制定分数乘法的规则。两个分数一般乘法的规则是什么，用符号表示以便我们可以代入任何数字，并且对于任何符号（占位符）都能得到正确答案？换句话说，下面式子中的问号应该是什么：

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{?}{?} \tag{A.2}\]

要回答这个问题，选择一个你已经知道的情况并反推出答案。你知道二分之一的一半是四分之一。你也知道 4/5 的一半一定是 2/5，或者三个三分之一一定是一个完整的"一"。用数学术语表示：

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}; \quad \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}; \quad \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{3} = 1. \tag{A.3}\]

从这些例子——以及可以根据需要随意编造的其他例子——可以得出结论：

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}. \tag{A.4}\]

换句话说，只需将分子相乘，分母相乘，然后根据需要约去公因数。

¹⁵我们可以应用关于倒数的课程（参见示例 A.1.2），意识到 15/24 乘以 2 类似于除以 5，差一个小数位。这给了我们一个 6-like 的数字，因此是 120。

示例 A.4.1：2/5 乘以 15/24 是多少？按照直接规则，分子得到 30，分母得到 120。 ¹⁵ ¹⁵我们可以应用关于倒数的课程（参见示例 A.1.2），意识到 15/24 乘以 2 类似于除以 5，差一个小数位。这给了我们一个 6-like 的数字，因此是 120。分子和分母中出现许多公因数（甚至原来的 15/24 本可以约简为 5/8），最终答案为 1/4。

分数与乘法和除法关系的另一个表述：除以 $n$ 等同于乘以 $1/n$。乘以 $2/3$ 等同于除以 $3/2$。乘法和除法本质上是相同的，只是需要将数字或分数翻转为其倒数。

我们的直觉如何帮助我们弄清分数的加法和减法？用你所知道的：

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \quad \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}; \quad \frac{3}{4} < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 1. \tag{A.5}\]

希望式 A.5 中的前两个陈述足够明显。最后一个用你已知的来限定答案。由于 1/3 大于 1/4。 ¹⁶ ¹⁶把饼分成三份肯定比分成更多（4）份留下更大的块，所以（1/3 > 1/4）。所以 $1/2 + 1/3$ 必须大于 $1/2 + 1/4 = 3/4$。同理，因为三分之一小于二分之一， ¹⁷ ¹⁷如果这类陈述不太直觉，想想饼或钱，自然的语境有助于形成更好的直觉。它们的和必须小于 1。

像 1/2 和 1/3 这样的分数相加就需要通分了。只有当分数具有相同的分母时，我们才能将分子相加。我们永远不能将分母相加。我们不能通过将分子和分母分别相加来复制式 A.5 中间的例子，否则会得到无意义的答案 2/6 = 1/3，而不是 3/4。

那么我们如何基于直觉重新创建整个通分方案呢？让我们回到 $1/2 + 1/3$ 的情况。我们已经在式 A.5 中将其限定在 0.75 和 1.0 之间，这已经可以作为我们尝试任何规则的检验了。从图形上看问题，如图 A.2 所示，我们看到叠加 1/2 和 1/3 自然产生了一个 1/6 的缺失间隙。2 和 3 在分母中如何合谋形成 6？当然是通过乘法。将 1/2 重新表示为 3/6，1/3 重新表示为 2/6， ¹⁸ ¹⁸……通过将分子和分母同时乘以缺失的因子——即"另一个"分母的值允许我们直接将分子相加，因为分母已经相同：3/6 + 2/6 = 5/6。

../_images/figA-2.png — **图 A.2：**从图上看，很容易看出 $1/2 + 1/3 = 5/6$。你总是可以编造类似的/熟悉的场景来验证（和重新发明）规则。#

对一些学生来说，这似乎是不必要的和初等的复习 ¹⁹ ¹⁹……这就是为什么它被放在附录里，但要点是，当有疑问时，用你已知的来测试你的方法，验证你做的事情是对的。如果你尝试应用的规则对于几个已知的案例都有效，那你很可能没问题。用这种方式对待数学，使你成为公式的主人，而不是公式主宰你。

本节（以及本附录）的要点是，你可以利用你已经知道的东西来检查你是否在应用正确的规则，甚至可以重新创造有效的规则——验证你对你了解和信任的案例得到了预期的答案。自己去发现吧！这样做可以让你完全拥有数学。它不再是别人教你做的东西：是你自己教会自己的，这远比记忆更有力量。

A.5 整数幂#

将一个数提升到幂，如 $4^3$，只是 $4 \cdot 4 \cdot 4$ 的数学简写。想想 $4^{23}$ 节省了多少空间！

那么处理指数的规则是什么呢——当我们把整个东西再提升到另一个幂时，或者当我们把两个指数部分相乘时，或者如果我们除以（或求逆）这个东西时？换句话说，以下是什么：

\[(x^m)^n = {?}; \quad x^m \cdot x^n = {?}; \quad \frac{1}{x^n} = {?} \tag{A.6}\]

本附录的主题是：通过你自己的实验发现规则。分阶段解决，$(7^4)^3$ 是什么？我们可以很容易地写出 $7^4$ 为 $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$。如果我们对这个数取立方，就等于将这组数写三遍，全部相乘，即 $(7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7) \times (7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7) \times (7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7)$，这就是 12 个 7 相乘，即 $7^{12}$。所以我们发现/制定了规则：

\[(x^m)^n = x^{m \cdot n}. \tag{A.7}\]

当将内部指数提升到外部指数时，我们乘以指数。

$3^2 \cdot 3^5$ 怎么样？规则是什么？过程 ²⁰ ²⁰注意在选择例子时需要小心。例如，选择两个指数都为 2 会留下一些歧义：结果是 $4 = 2+2$，$4 = 2 \times 2$，还是 $4 = 2^2$？与之前类似，展开为 $(3 \cdot 3) \times (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$，这看起来就是七个 3 相乘，即 $3^7$。因此，我们的规则是：

\[x^m \cdot x^n = x^{(m+n)}. \tag{A.8}\]

当两个部分各自有自己的指数并相乘时，我们将指数相加。注意，当底数不同时这不成立，你可以自己用 $3^2 \cdot 5^4$ 验证。

最后，求逆，或除以 $x^n$ 呢？作为预告，负幂等价于将该项放在分母中，因此 $x^{-n} = 1/x^n$。要理解这一点，考虑式 A.8 中 $m$ 和 $n$ 符号相反但绝对值相同的情况。例如，遵循"指数相加规则"，我们得到 $3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4-4} = 3^0 = 1$，因为任何数的零次方都是 1。 ²¹ ²¹把指数想象成链式相乘中一个数字出现多少次，隐含地全部乘以 1。如果我们有零次该数字，那么隐含的 1 就是乘法中剩下的全部。换句话说，1 是所有乘法的起点，就像 0 是所有加法的起点一样。我们能乘入 $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ 以得到 1 的唯一东西是 $1/(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$。这意味着 $3^{-4}$ 等同于 $1/3^4$，或更一般地：

\[\frac{1}{x^n} = x^{-n}. \tag{A.9}\]

因此，负指数将构造翻转到分母，或表示除法而非乘法。

A.6 分数幂#

在上一节中，我们只处理了整数幂，因此可以将 $3^4$ 写成 $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$。但我们怎么可能写出 $3^{1.7}$ 呢？然而它在数学上是明确定义的。计算器不会有任何问题。

我们可以从式 A.8 获得线索。例如，考虑 $5^{1/2} \cdot 5^{1/2}$。我们知道可以将指数相加，在这种情况下相加得到整洁的 1，意味着答案就是 5。因此我们将 $5^{1/2}$ 解释为 5 的平方根，因为将自身相乘得到 5。所以我们可以将我们熟悉的朋友重新表达为分数幂：

\[x^{1/2} = \sqrt{x}. \tag{A.10}\]

原则上，我们可以通过取 3 的 10 次方根并将其提升到 17 次方来处理 $3^{1.7}$：$3^{1.7} = (3^{1/10})^{17} = 3^{17/10}$。

更一般地，在第 1 章中，我们看到可以将任意底数 $b$ 提升到某个任意数 $x$ 表示为：

\[b^x = e^{x \cdot \ln b} = 10^{x \cdot \log_{10} b}, \tag{A.11}\]

其中我们使用指数函数及其反函数（自然对数 ln），或者等价地使用以 10 为底的对数。如果由于某种原因，我们的计算器没有 $y^x$ 按钮，这些方法提供了更基本的途径来达到同样的目的。

A.7 科学计数法#

学生在科学计数法方面犯的最大错误，很容易通过理解它实际上在做什么——而不是将其视为一套规则——来纠正。

大多数时候，学生做对了：他们看到 $1.6 \times 10^2$ 并将小数点向右移动两位得到 160。稍微难一点的是负指数，如 $2.4 \times 10^{-2}$。将小数点向左移动两位，得到正确的 0.024 答案。

如果将这个过程误解为简单地"数零"，就会出现问题。讽刺的是，一个学生可能正确地将 $6 \times 10^3$ 转换为在 6 后面加三个零得到 6,000，但然后把 $10^3$ 误认为是 10,000——认为：从 10 开始，加三个零。

万无一失的方法是联系整数幂的概念，因此 $10^3$ 简单地就是 $10 \cdot 10 \cdot 10$，这毫无疑问是 1,000。同样，$10^{-4}$ 是四个 $10^{-1}$ 的重复（相乘）实例，每个代表 1/10，或 0.1。将四个串起来，我们得到 $0.1 \times 0.1 \times 0.1 \times 0.1$，或 0.0001。所以回归基础吧。

²²嬉戏的海豚尝试多种方法，并从一致性中获得的强化而欢欣。

示例 A.7.1：我们也可以应用式 A.8 中涉及的指数量相乘规则。所以 $3.2 \times 10^3$ 乘以 $2 \times 10^2$ 可以写成 $3.2 \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 10^2$（顺序无关），我们可以识别为 $6.4 \times 10^5$。

除法呢：$2.4 \times 10^{13}$ 除以 $8 \times 10^7$？几种方法可能有启发性。让我们暂时忽略前因子（2.4 和 8），专注于 10 的幂。标准做法是从分子中的指数减去分母中的指数：$13 - 7 = 6$，所以我们剩下 $2.4/8 \times 10^6$。我们也可以将分母中的 $10^7$ 表示为分子中的 $10^{-7}$，根据式 A.9。现在我们只需将指数相加得到相同的结果。或者我们可以将 $8 \times 10^7$ 求逆变为 $0.125 \times 10^{-7}$ 并将其乘以 $2.4 \times 10^{13}$。

但我想展示一种我能轻松在脑中完成的方式。认识到 24 可被 8 整除，我强烈倾向于将第一个数重新表示为 $24 \times 10^{12}$。看到我做了什么吗？我将前因子乘以 10，相应地将指数减少 1，最终到达相同的位置。现在我得到 $24/8 \times 10^{12-7}$，简化为 $3 \times 10^5$。所有方法得到相同答案， ²² ²²嬉戏的海豚尝试多种方法，并从一致性中获得的强化而欢欣。这又成为一个教训：数学提供了多条通往同一答案的路径，可以用来检查和加强。

A.8 寻找方程#

学生经常对公式形成一种适得其反的依赖。专家专注于学习方程所表达的概念，因为方程很像一句说出某个真理的句子。 ²³ ²³……也许在某种语境或一组假设之内一旦掌握了基本原理，方程或公式就是自动的，可以从理解的地方生成——这比记忆更持久。

这种做法比最初看起来更常见和自然。假设一个人的年收入（税后）是 50,000 美元。房租是每月 1,500 美元，食品杂货和其他账单每月 1,000 美元。每月还剩多少可自由支配的钱？这个问题的公式在哪里？当然，在这种情况下你不会费心去寻找公式，而是自己构建数学。你本质上是即时创建自己的公式。无论你是先将年收入除以 12 再减去月度开支，还是先将月度开支乘以 12 再从年收入中减去除以 12，结果是一样的：每月略多于 1,000 美元。

在这种语境下也很清楚，精确到分来计算没有多大意义，因为食品杂货和其他开支每月不会完全相同。教训是，大多数人在管理金钱方面足够内行，不需要在每次想要计算什么东西时去翻找印好的公式，而且他们对精度也很宽容，因为他们从语境中知道不应该太过字面理解。

本书试图培养一种更像专家的方法来对待材料。例如，定义 2.1.1（第 25 页）引入了功率的概念，但没有明确说 $P = E/t$。它只是说功率是单位时间内消耗了多少能量。如果一个学生内化了那个想法，那为什么要印一个公式呢？这样做可能让学生绕过真正的理解 ²⁴ ²⁴……在这种情况下这并不是什么难事，依赖公式作为拐杖，永远没有将核心概念牢牢植入大脑。捷径最终可能会对学生不利，尽管它们在当下看起来很诱人。掌握了概念的学生将处于更有利的位置，能在更广泛的情境中运用它们——包括不熟悉的考试题。

A.9 方程的变形#

物理老师经常开玩笑说他们教学生"三个欧姆定律"。笑点在于只需要一个：$V = IR$。其他形式：$I = V/R$ 和 $R = V/I$ 可以从第一个推导出来。刻板记忆导致一些学生记住所有三种形式，而不是简单地以维持关系的方式移动东西。

规则很容易自己生成。把方程想象成一个完美平衡的跷跷板——也许是两边各坐着一头大象。只有当它保持平衡时，方程才成立。你可以加一只鸡，但两边都要加。你可以乘以或除以大象的数量，只要两边以相同的方式进行。例如，将上面（第一个）欧姆定律的两边除以 $R$ 就得到第二种形式。

²⁵你可以在任何想要的时候在任何位置代入数字。

示例 A.9.1：假设你面对一个你认为丑陋的方程，或者你只是想求解一个变量。用符号代替一切 ²⁵ ²⁵你可以在任何想要的时候在任何位置代入数字。，我们可能有

\[\frac{a}{b} + c = \frac{g + h}{d}\]

假设我们讨厌分数的出现。两边乘以 $b$：

\[a + b \cdot c = \frac{b(g + h)}{d}\]

现在两边乘以 $d$ 以消除剩余的分数：

\[a \cdot d + b \cdot c \cdot d = b(g + h)\]

如果你想解出 $h$ 呢？看来我们需要将 $b$ 送回分母的位置，因为我们需要两边除以 $b$。

\[g + h = \frac{a \cdot d}{b} + c \cdot d\]

最后我们从两边减去 $g$ 得到

\[h = \frac{a \cdot d}{b} + c \cdot d - g\]

无论你想做什么，只要两边都做就行。

事情并不总是那么直接。有时我们需要"撤销"或"求逆"一个数学函数。例如，考虑一个熟悉的问题：求一个直角三角形的边长 $\ell$，其另一条边为 $a$，斜边为 $h$。根据勾股定理，我们知道 $\ell^2 + a^2 = h^2$，所以 $\ell^2 = h^2 - a^2$。但我们要的是 $\ell$，不是 $\ell^2$。如何"撤销"平方？从式 A.7 取一页。我们想要 $\ell$ 的 1 次方，所以我们要将 $\ell^2$ 提升到通过乘法能中和 2 的幂。

看起来 1/2（平方根）可以解决问题。但我们需要同样处理两边：

\[\ell = (\ell^2)^{1/2} = \sqrt{\ell^2} = \sqrt{h^2 - a^2} \tag{A.12}\]

在这种情况下，幂 $1/n$ 可以说是执行了幂 $n$ 的逆函数。在更熟悉的语境中：减法是加法的逆运算；除法是乘法的逆运算。不太熟悉但类似的：正弦被反正弦"撤销" ²⁶ ²⁶……反过来也成立，所有这些例子都是如此；指数 $e^x$ 被自然对数（$\ln x$）撤销；$10^x$ 被 $\log_{10} x$ 撤销等。

如果你以前没做过（或最近没做过），在计算器上摆弄一下，从一个你自己编造的、让你满意且可识别的数字开始。 ²⁷ ²⁷类似 2.71828 的数字就可以，但要让它成为你自己的！先平方然后取平方根。计算正弦然后反正弦（ASIN）。取指数然后取自然对数——或反过来。以你自己的方式来了解这些东西！

A.11 仅仅是个开始#

对本书而言，全面复习数学概念远超其范围。希望所涵盖的内容能提供有用的基础。关键教训是，学生脑中已有的知识和直觉可以有效地用来重新创造被遗忘的数学规则。只需记住：这一切都有道理，是一致的。创建自定义的简单问题 ³⁸ ³⁸……其答案已知或可以算出提供了一种方法来确保所应用的数学规则能复现正确的答案。如果不能，几次测试通常就能把事情拉回正轨。通过这样做，学生可以宣称对数学拥有更大的个人所有权，并对其运作方式有更好的内在掌控。

附录 A 数学基础

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